Главная
G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразие — семимерное риманово многообразие с группой голономий G 2 {displaystyle G_{2}} или её подгруппой. Они имеют важное значение в теории струн, в частности в М-теории.
G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразия имеют нулевую кривизну Риччи, ориентируемы и обладают спинорной структурой.
Геометрия
Геометрия G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразий тесно связана с семимерным векторным произведением: именно, это семимерные римановы многообразия, на каждом касательном пространстве к которому имеется векторное произведение, и как тензорное поле оно сохраняется связностью Леви-Чивиты (тем самым само семимерное евклидово пространство с векторным произведением является простейшим примером G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразия). Это условие означает, что голономия такой метрики лежит в группе G 2 {displaystyle G_{2}} : параллельные переносы сохраняют векторное произведение, а группа автоморфизмов такого произведения есть в точности G 2 {displaystyle G_{2}} . С другой стороны, если имеется метрика с такой голономией, то теория представлений группы G 2 {displaystyle G_{2}} помогает видеть, что в пространстве кососимметрических тензоров типа ( 2 , 1 ) {displaystyle (2,1)} имеется выделенное параллельное одномерное подрасслоение. Его сечение постоянной длины и есть поле семимерных векторных произведений.
Опусканием индексов по метрике из векторного произведения можно получить 3-форму, обыкновенно обозначаемую ϕ {displaystyle phi } или ρ {displaystyle ho } . Поскольку она параллельна относительно связности без кручения (а именно связности Леви-Чивиты), она замкнута. Двойственная ей по Ходжу 4-форма также параллельна и замкнута, так что она вдобавок гармонична. Общая 3-форма на семимерном пространстве имеет стабилизатор G 2 {displaystyle G_{2}} , так что G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразия допускают определение в терминах нигде не вырожденной замкнутой 3-формы. Это сближает их с симплектическими многообразиями (многообразиями с нигде не вырожденной замкнутой 2-формой), однако важно понимать, что 3-форма в семимерном пространстве определяет метрику, а 2-форма не определяет метрики никогда.
Тем не менее, важное понятие симплектической геометрии — понятие лагранжева подмногообразия, то есть подмногообразия половинной размерности такого, что 2-форма ограничивается на него тождественным нулём — отчасти переносится на G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразие. Именно, трехмерное подмногообразие называется ассоциативным, если 4-форма ⋆ ρ {displaystyle star ho } зануляется при подставлении в него любых трёх касательных полей к этому подмногообразию (или, что то же самое, 3-форма ρ {displaystyle ho } ограничивается на него как форма трёхмерного риманова объёма). Четырёхмерное же подмногообразие называется коассоциативным, если 3-форма ρ {displaystyle ho } ограничивается на него тождественным нулём (эквивалентно, 4-форма ρ {displaystyle ho } ограничивается на него как форма четырёхмерного риманова объёма). Эти названия объясняются своими альтернативными определениямм через векторное произведение: ассоциативное подпространство в R 7 {displaystyle mathbb {R} ^{7}} есть трёхмерное подпространство, замкнутое относительно векторного произведения (или же, если учесть, что семимерное векторное произведение получаетя из умножения мнимых октав, как мнимые кватернионы в мнимых октавах для какого-нибудь вложения алгебр H ↪ O {displaystyle mathbb {H} hookrightarrow mathbb {O} } ). Коассоциативные подпространства суть в точности ортогональные дополнения ассоциативных, или же подпространства, в которых векторное произведение любых двух векторов перпендикулярно этому подпространству.
Другая аналогия, более употребительная между физиков, сравнивает ассоциативные многообразия с комплексными кривыми в трёхмерных многообразиях Калаби — Яу, а коассоциативные — со специальными лагранжевыми подмногообразиями. И действительно: декартово произведение трёхмерного многообразия Калаби — Яу с риччи-плоской метрикой на окружность есть семимерное многообразие с голономией S U ( 3 ) ⊂ G 2 {displaystyle mathrm {SU} (3)subset G_{2}} . При этом произведения комплексных кривых, лежащих в этом многообразии, на окружность являются ассоциативными, а специальных лагранжевых подмногообразий — коассоциативными.
Примечательное свойство семимерного векторного произведения, сближающее его с трёхмерным, состоит в том, что если u {displaystyle u} — единичный вектор, то для любого перпендикулярного вектора x {displaystyle x} имеем ( x × u ) × u = − x {displaystyle (x imes u) imes u=-x} . Иначе говоря, векторное умножение на единичную нормаль является эндоморфизмом гиперплоскости, возводящимся в квадрат как умножение на − 1 {displaystyle -1} , то есть попросту комплексная структура. Тем самым, в G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразии всякая ориентируемая гиперповерхность имеет естественную почти комплексную структуру, которая аналогична структуре римановой поверхности на ориентируемой поверхности в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} . Это явление, применительно к семимерному евклидову пространству, открыл Калаби (ещё до введения общих G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразий). Вместе с тем, в отличие от трёхмерного случая, такая структура крайне редко бывает интегрируемой (сиречь допускающей аналитический атлас из областей комплексного пространства C 3 {displaystyle mathbb {C} ^{3}} ): например, в случае евклидова пространства критерий Калаби утверждает, что эта почти комплексная структура интегрируема тогда и только тогда, когда оператор Вейнгартена гиперповерхности имеет собственные числа λ , μ , ν , − λ , − μ , − ν {displaystyle lambda ,mu , u ,-lambda ,-mu ,- u } . В частности, эта гиперповерхность должна быть минимальной. Например, стандартная почти комплексная структура на сфере получается как почти комплексная структура Калаби для единичной сферы S 6 ⊂ R 7 {displaystyle S^{6}subset mathbb {R} ^{7}} . Наличие на шестимерной сфере интегрируемой почти комплексной структуры является чрезвычайно трудной задачей (известной как гипотеза Черна), касательно статуса которой мнения виднейших геометров далеки от единодушия. Вместе с тем, такие почти комплексные многообразия, как единичная сфера, также имеют интерес для дифференциальной геометрии: они составляют класс т. н. «приблизительно кэлеровых многообразий» (англ. nearly Kähler manifold — точный перевод на русский пока что не устоялся), то есть почти эрмитовых многообразий, ковариантная производная стандартной 2-формы относительно связности Леви-Чивиты на коих является вполне кососимметричной. Метрический конус над вещественно шестимерным приблизительно кэлеровым многообразием является G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразием, и обратно, фактор конически симметричного G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразия (то есть допускающего действие мультипликативной группы R ⩾ 0 {displaystyle mathbb {R} _{geqslant 0}} гомотетиями) является естественным образом приблизительно кэлеровым.
История
Теорема Берже — Саймонса, доказанная в 1955 году, утверждает, что группа голономии компактного риманова многообразия, не являющегося локально симметрическим, действует транзитивно на единичных касательных векторах. Список таких групп, приведённый Берже, включал в себя как группы, которые к тому времени были известны как группы голономии классических геометрий (например S O ( n ) {displaystyle mathrm {SO} (n)} , группа голономии общего риманова многообразия, или U ( n ) {displaystyle mathrm {U} (n)} , группа голономии кэлеровых многообразий), так и такие, которые, как впоследствии выяснилось, могут быть группами голономии только у локально симметрических многообразий (такая как спинорная группа S p i n ( 16 ) {displaystyle mathrm {Spin} (16)} , которая была исключена из списка Берже Алексеевским). Как считалось долгое время, группа G 2 {displaystyle G_{2}} , действующая на семимерном пространстве мнимых октав, также не может быть группой голономии не локально симметрического многообразия, и усилия геометров 1960-х — 1980-х годов были направлены к доказательству этого.
Бонан доказал в 1966 году, что G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразие допускает параллельные 3-форму и 4-форму, двойственные друг другу при помощи звёздочки Ходжа. В его время, однако, никаких примеров многообразий, группа голономии которых равнялась бы G 2 {displaystyle G_{2}} . Первый пример такой метрики на области в R 7 {displaystyle mathbb {R} ^{7}} был построен Брайантом в 1987 году. В 1989 году Брайант и Саламон построили G 2 {displaystyle G_{2}} -метрики на полных, но некомпактных многообразиях: спинорном расслоении над трёхмерным многообразием постоянной секционной кривизны, и на расслоении антисамодвойственных форм над четырёхмерным эйнштейновым многообразием c самодвойственным тензором Вейля (например четырёхмерной сфере с круглой метрикой или комплексной проективной плоскости с метрикой Фубини-Штуди). Они отчасти аналогичны симплектической структуре на тотальном пространстве кокасательного расслоения (точнее, канонической гиперкэлеровой метрикена голоморфном касательном расслоении к кэлерову многообразию, которая в то время ещё не была известна и будет открыта в 1990-х Файкс и Калединым). Эти частичные результаты считались подтверждениями того, что на компактном многообразии такие метрики невозможны.
В 1994 году, однако, это мнение было опровергнуто: Джойс построил несколько примеров компактных многообразий с группой голономии G 2 {displaystyle G_{2}} , найдя способ аналитически разрешать особенности у фактора семимерного тора по конечной группе. В 1998 году Маклин изучил деформации коассоциативных и ассоциативных подмногообразий в замкнутых G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразиях, в частности, установил, что деформации коассоциативных многообразий описываются в терминах их внутренней геометрии, в то время как ассоциативные многообразия обладают теорией деформаций, описываемой некоторым оператором Дирака, зависящим от вложения в объемлющее пространство, и обыкновенно являются жёсткими. В 2000-х годах была изобретена конструкция скрученной связной суммы Ковалёва, позволяющая строить G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразия из пары трёхмерных многообразий Фано с некоторыми условиями совместимости. Расслоения на G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразиях, слои которых коассоциативны (в частности, имеют, как предсказано Маклином, достаточно много деформаций), впервые были построены при помощи такой конструкции, и называются иногда «пучками Ковалёва-Лефшеца» (например, у Дональдсона) по аналогии с расслоениями на эллиптические кривые на K3-поверхностях, исторически называвшиеся «пучками Лефшеца». Обобщение конструкции Ковалёва позволило получить G 2 {displaystyle G_{2}} -структуры на десятках тысяч попарно недиффеоморфных компактных многообразий. Кроме того, в этих обобщениях были получены многообразия с ассоциативными подмногообразиями.
Интересная новая связь геометрии G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразий с комплексной геометрией была установлена в 2011 году Вербицким: пространство узлов в G 2 {displaystyle G_{2}} -многообразии является (бесконечномерным) формально кэлеровым многообразием (иными словами, оно хоть и не допускает локальных карт со значениями в комплексном пространстве Фреше с комплексно аналитическими функциями переклейки, но линейно-алгебраическое препятствие к наличию таких карт, тензор Нейенхёйса, на них зануляется; в конечномерном случае, заметим, этого достаточно для наличия комплексно аналитического атласа).