Катеноид

Катеноид — минимальная поверхность, образуемая вращением цепной линии.

y = a ch x a {displaystyle y=a,operatorname {ch} ,{frac {x}{a}}} вокруг оси O X {displaystyle OX} .

История

Катеноид был впервые описан Эйлером в 1744 году. Слово катеноид образовано от лат. catena означает цепь и греческого éidos — вид.

Уравнения

Катеноид можно задать и параметрически:

u ∈ R , v ∈ [ 0 ; 2 π ) , { x = ch ⁡ ( u ) cos ⁡ ( v ) y = ch ⁡ ( u ) sin ⁡ ( v ) z = u , {displaystyle uin mathbb {R} ,quad vin left[0;2pi ight),qquad {egin{cases}x=operatorname {ch} (u),cos(v)y=operatorname {ch} (u),sin(v)z=uend{cases}},}

где ch {displaystyle operatorname {ch} } — гиперболический косинус.

Свойства

• Является минимальной поверхностью.
  • В частности, форму катеноида принимает мыльная плёнка, натянутая на две близких проволочных окружности, плоскости которых перпендикулярны линии, соединяющей их центры.
• Не слишком большой участок катеноида можно изометрически (без сжатий и растяжений) преобразовать в участок геликоида.
• Общая кривизна равна − 4 ⋅ π {displaystyle -4cdot pi } .
  • Полная погруженная минимальная поверхность в R 3 {displaystyle mathbb {R} ^{3}} с общей кривизны − 4 ⋅ π {displaystyle -4cdot pi } является либо катеноидом либо поверхностью Эннепера.