Главная
Тест Чоу (Чжоу, англ. Chow test) — применяемая в эконометрике процедура проверки стабильности параметров регрессионной модели, наличия структурных сдвигов в выборке. Фактически тест проверяет неоднородность выборки в контексте регрессионной модели.
Истинные значения параметров модели могут теоретически различаться для разных выборок, так как выборки могут быть неоднородны. В частности, при анализе временных рядов может иметь место так называемый структурный сдвиг, когда со временем изменились фундаментальные характеристики изучаемой системы. Это означает, что модель до этого сдвига и модель после сдвига вообще говоря разные. Например, экономика в 1998—1999 году и в 2008—2009 годах претерпевала структурные изменения в связи с кризисными явлениями, поэтому параметры макроэкономических моделей могут быть разными, до и после этих моментов.
Тест Чоу на структурное изменение
Пусть дана выборка S {displaystyle S} объёмом n {displaystyle n} , которая разбита на две подвыборки S 1 , S 2 {displaystyle S_{1},~S_{2}} , с объёмами n 1 , n 2 {displaystyle n_{1},~n_{2}} соответственно: n = n 1 + n 2 {displaystyle n=n_{1}+n_{2}} . Для временных рядов это означает обычно, что определён момент времени, подозреваемый на «структурный сдвиг», соответственно временные ряды разбиваются на ряды до этого момента и после.
Пусть рассматривается регрессионная модель y t = x t T b + ε t {displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}b+varepsilon _{t}} , где b {displaystyle b} — параметры модели (их количество — k {displaystyle k} ). Предполагается, что подвыборки могут быть неоднородными. Таким образом, для двух подвыборок имеются две модели:
{ y t = x t T b 1 + ε t , t ∈ S 1 y t = x t T b 2 + ε t , t ∈ S 2 {displaystyle {egin{cases}y_{t}=x_{t}^{T}b_{1}+varepsilon _{t}~,~tin S_{1}y_{t}=x_{t}^{T}b_{2}+varepsilon _{t}~,~tin S_{2}end{cases}}}Эти две модели можно представить одной моделью, если использовать индикатор подвыборки d {displaystyle d} :
d t = { 1 , t ∈ S 1 0 , t ∈ S 2 {displaystyle d_{t}={egin{cases}1~,~tin S_{1} ~,~tin S_{2}end{cases}}}Используя эту переменную формулируется следующая модель:
y t = x t T ( d t b 1 + ( 1 − d t ) b 2 ) + ε t = d t x t T b 1 + ( 1 − d t ) x t T b 2 + ε t = z 1 T b 1 + z 2 T b 2 + ε t {displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}(d_{t}b_{1}+(1-d_{t})b_{2})+varepsilon _{t}=d_{t}x_{t}^{T}b_{1}+(1-d_{t})x_{t}^{T}b_{2}+varepsilon _{t}=z_{1}^{T}b_{1}+z_{2}^{T}b_{2}+varepsilon _{t}} —«длинная модель» без ограничений для всей выборки с количеством параметров 2 k {displaystyle 2k} . Если в этой модели наложить ограничение H 0 : b 1 = b 2 {displaystyle H_{0}:~b_{1}=b_{2}} , то получается исходная модель y t = x t T b + ε t {displaystyle y_{t}=x_{t}^{T}b+varepsilon _{t}} с k {displaystyle k} параметрами также для всей выборки. Это — «короткая модель» — модель с линейными ограничениями на параметры длинной модели.
Тогда процедуру теста можно свести к проверке этого линейного ограничения. При нормально распределённых случайных ошибках применяется стандартный F-тест для проверки k {displaystyle k} линейных ограничений. Статистика этого теста строится по известному принципу:
F = ( R S S S − R S S L ) / k R S S L / ( n − k L ) = ( R S S − R S S 1 − R S S 2 ) / k ( R S S 1 + R S S 2 ) / ( n − 2 k ) ∼ F ( k , n − 2 k ) {displaystyle F={frac {(RSS_{S}-RSS_{L})/k}{RSS_{L}/(n-k_{L})}}={frac {(RSS-RSS_{1}-RSS_{2})/k}{(RSS_{1}+RSS_{2})/(n-2k)}}~sim ~F(k,n-2k)}Соответственно, если значение этой статистики больше критического при данном уровне значимости, то гипотеза об ограничениях отвергается в пользу длинной модели, то есть выборки признаются неоднородными и необходимо строить две разные модели для выборок. В противном случае выборка однородна (параметры модели стабильны) и можно строить общую модель для выборки.
Кроме F-теста можно применять и другие тесты для проверки гипотезы об ограничениях, в частности LR-тест. Особенно это касается более общего случая, когда выделяются не две подвыборки, а несколько. Если количество подвыборок равно m {displaystyle m} , то соответствующая LR-статистика будет иметь распределение χ 2 ( ( m − 1 ) k ) {displaystyle chi ^{2}((m-1)k)} .
Замечание
В тесте предполагается, что разными в выборках могут быть только параметры линейной модели, но не параметры распределения случайной ошибки. В частности, предполагается одинаковая дисперсия случайной ошибки в обоих подвыборках. В общем случае, однако, это может быть не так. В этом случае применяют тест Вальда со статистикой:
W = ( b ^ 1 − b ^ 2 ) T ( V ^ 1 + V ^ 2 ) − 1 ( b ^ 1 − b ^ 2 ) → d χ 2 ( k ) {displaystyle W=({hat {b}}_{1}-{hat {b}}_{2})^{T}({hat {V}}_{1}+{hat {V}}_{2})^{-1}({hat {b}}_{1}-{hat {b}}_{2}){xrightarrow {d}}chi ^{2}(k)} ,где b ^ 1 , V ^ 1 , b ^ 2 , V ^ 2 {displaystyle {hat {b}}_{1},{hat {V}}_{1},{hat {b}}_{2},{hat {V}}_{2}} — оценки параметров и оценки их ковариационной матрицы в первой и второй подвыборках соответственно.
Тест Чоу на предсказание
Здесь применяется несколько иной подход. Строится модель для одной из подвыборок и на основе построенной модели прогнозируется зависимая переменная для второй подвыборки. Чем больше различия между предсказанными и фактическими значениями объясняемой переменной во второй выборке, тем больше разница между подвыборками. Соответстувующая F-статистика равна:
F = ( R S S − R S S 1 ) / n 2 R S S 1 / ( n 1 − k ) ∼ F ( n 2 , n 1 − k ) {displaystyle F={frac {(RSS-RSS_{1})/n_{2}}{RSS_{1}/(n_{1}-k)}}~sim ~F(n_{2},n_{1}-k)} .В данном случае также можно использовать LR-статистику с асимптотическим распределением χ 2 ( n 2 ) {displaystyle chi ^{2}(n_{2})} .